Что такое математика? Для одних — это непонятная и сложная дисциплина. Для других — важный предмет. Для — некий язык естественных наук. Математика — действительно особый чем-то искусственно достаточно значимый.
Когда я говорю слово «яблоко », каждый представляет себе разные яблоки: красное, зеленое, кислое, сладкое. Если мы рассмотрим более сложные понятия, например, стол, стул — там окажется еще больше различий. Когда мы начнем говорить про дружбу, любовь, красоту или, к примеру, великодушие — не всегда вообще сможем прийти к единому пониманию. Получаются «яблоки раздора».
Математический язык другой. Все математические термины точно определяются. Возьмем такие понятия, как «треугольник» или «окружность» и попробуем дать им определения.
«Треугольник» — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, попарно соединенных отрезками. «Окружность» — это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной, называемой центром окружности.
Математический язык учит внимательно относиться к слову, потому что пропуск каждого слова либо его искажение в определении может поменять его смысл. И, как следствие, фигуру, которую мы описываем этими словами.
Что еще важно, чтобы математические определения становились точными? Чтобы все вновь вводимые определения содержали только те понятия, которые раньше уже были точно определены. Но в этой последовательности должно быть начало. Таким началом могут служить неопределяемые понятия: «точка», «прямая», «плоскость».
В математике любой факт-теорема должен иметь доказательство. Один факт обычно цепляется за другой. И получается, как в сказке: «бабка за дедку, дедка за репку». Но в начале каждой теоремы стоят аксиомы. То есть факты, которые не требуют доказательств. Возьмем аксиому: «через две точки можно провести только одну прямую». И тут же становится видно, что аксиомы связывают между собой те самые неопределяемые понятия, которые мы посчитали начальными, — прямая, точка и плоскость.
В науке «геометрия» факт, его формулировка и смысл факта могут отличаться кардинальным образом. Возьмем простую задачу: «Продавец продал покупателю шапку за 10 рублей. Покупатель дал ему купюру в 25 рублей. У продавца не было сдачи. Он пошел к другу, попросил разменять деньги. Отдал 15 рублей сдачи покупателю. Спустя некоторое время друг пришел и сказал, что купюра фальшивая.
Продавец как честный человек отдал ему свои 25 рублей. Сколько в итоге потерял продавец в денежном эквиваленте?» Математик сначала предположит, что купюра настоящая. Тогда вся операция честная и никто ничего не потерял. Если же бумажка фальшивая, то продавец все-таки потерял 25 рублей.
